RC电路中电容充电过程的数学推导

在RC电路中,当电容开始从电源通过电阻充电时,其电压随时间的变化遵循指数规律。为了推导这一过程,我们首先基于基尔霍夫电压定律(KVL)建立基本方程。 设电源电压为(V_s),电容两端电压为(V_c(t)),电阻两端电压为(V_R(t)),电容值为(C),电阻值为(R)。根据KVL,有: [V_s = V_R(t) + V_c(t)] 由于(V_R(t) = i(t)R)(欧姆定律),且(i(t) = Cfrac)(电容电流定义),代入得: [V_s = RCfrac + V_c(t)] 移项并整理得一阶线性微分方程: [frac + fracV_c(t) = frac] 解此微分方程,考虑到初始条件(V_c(0) = 0),得到电容电压随时间变化的解析式为: [V_c(t) = V_s(1 - e^})] 其中,( au = RC)称为时间常数,表示电容充至最终电压(63.2\%)所需的时间。此公式清晰地展示了电容电压随时间增长的指数趋势。
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